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Descripción: Explora el problema de encontrar el centro de gravedad de un cuadrilátero. Manuel Sada Allo

Olvidemos en esta segunda parte el "problema de los puntos medios" para abordar otro diferente relacionado con el paralelogramo de Varignon:

 

Mirado desde el punto de vista de la Geometría analítica, es decir, pensando en las coordenadas de todos los puntos que intervienen en la figura, y como consecuencia de que el punto medio de cada lado se obtiene como "media aritmética" de sus extremos, el centro del paralelogramo, o sea el punto de corte de las diagonales, ha de tener como coordenadas las respectivas medias aritméticas de las coordenadas de los cuatro vértices del cuadrilátero inicial.

 

Un programa como GeoGebra, con el que se han construido todas las figuras interactivas de este artículo, permite comprobar cómodamente lo anterior, pues opera directamente con las coordenadas de los puntos y "nos entenderá" si tecleamos en su campo de Entradas una expresión como la siguiente: (A+B+C+D)/4 , donde A, B, C y D son los nombres de los cuatro vértices del cuadrilátero y visualizaré el punto "media aritmética" de los mismos.

 

 


Algo análogo a lo que ocurre en un cuadrilátero con las coordenadas del "centro de Varignon" ocurre en un triángulo con las de su baricentro, cuya mayor singularidad radica en que es el "centro de gravedad" del mismo.

 

Esto es, si recortamos una plancha de material rígido y uniforme de forma triangular, su baricentro sería el centro de masas o punto de sustentación (donde habría de ser apoyado para mantenerse en equilibrio sobre una punta).

 

¿Se podrá entonces deducir que el centro de gravedad de un cuadrilátero cualquiera está situado en el centro de su paralelogramo de Varignon?

 

Una vez más el punto de partida de la investigación puede ser la disección del cuadrilátero en dos triángulos mediante una diagonal:

Mirado desde el punto de vista físico, cada uno de los triángulos podría ser sustituido por su masa concentrada en el baricentro y eso llevaría a concluir que el centro de masas del cuadrilátero habría de estar situado sobre el segmento determinado por los baricentros de los dos triángulos.

 

 







¿Pertenecerá el centro de Varignon a ese segmento? Comprobémoslo de nuevo en una figura de GD:

 

 


La respuesta es que no necesariamente. Una nueva pregunta a lanzar podría ser ¿para qué tipos de cuadriláteros sí ocurre?

 

Descartado pues el centro del paralelogramo de Varignon, insistiremos en la búsqueda del centro de gravedad del cuadrilátero: ¿y si repetimos la disección con la otra diagonal?

 

De ese modo obtendremos un segundo segmento que ha de pasar por el punto buscado.

 

De modo que, si nuestro razonamiento es válido, el centro de masas de un cuadrilátero ¿cualquiera? será el punto de intersección del par de segmentos determinados por los baricentros de los triángulos en que cada diagonal divide al mismo:

 

 


¿Será útil este método para cualquier tipo de cuadrilátero? ¿Qué ocurre con las diagonales de un cuadrilátero cóncavo?

 

Leemos en las "Vitaminas matemáticas" de Claudí Alsina un método diferente para encontrar el centro de masas de un cuadrilátero convexo: se puede determinar como el centro de un pariente cercano al paralelogramo de Varignon: se trata del paralelogramo de Wittenbauer que se obtiene a partir, no de los puntos medios de los lados, sino de los puntos que los trisecan:

 

 






¿Coincidirá ese centro de Wittenbauer con el de obtenido por el método de los baricentros? Una vez más, la anterior o la siguiente figura interactiva permite comprobarlo para muchos ejemplos diferentes de cuadriláteros, con sólo deslizar los vértices:

 

 



La misma figura puede ser útil para indagar una nueva pregunta: ¿en qué cuadriláteros coinciden los centros de los paralelogramos de Varignon y de Wittenbauer?

 

Vamos con una última conjetura y su comprobación:

Justificábamos en un párrafo anterior que, tras la división del cuadrilátero inicial, mediante una diagonal, en dos triángulos, se podrán considerar las masas de cada triángulo en su respectivo baricentro.

 

Podría añadirse que esas dos masas serían proporcionales a las áreas de sus respectivos triángulos y de ello se deduciría que el centro de gravedad se ha de situar en el segmento determinado por los baricentros a distancias de éstos también proporcionales a esas áreas.

 

Naturalmente también se le puede pedir a GeoGebra que nos mida longitudes y áreas. Hagámoslo y comprobemos esa proporcionalidad:

 

 

Y con la anterior damos por finalizada esta serie de propuestas para el trabajo en el aula con las que pretendíamos poner énfasis en la potencialidad de los programas de Geometría dinámica para el trabajo ante situaciones geométricas y particularmente para la formulación de conjeturas y su comprobación. Imaginemos las mismas propuestas para ser desarrolladas con los recursos convencionales, lápiz y papel o tiza y pizarra. Parece evidente que el alcance y la riqueza de la experiencia así como la profundidad de la investigación se verían muy mermados.

 

A propósito de investigaciones: dejamos abierta para un próximo artículo de esta sección de Divulgamat una de las cuestiones que no hemos resuelto: ¿cómo ha de ser una familia de polígonos para que la razón entre las áreas de cada polígono y el generado a partir de sus puntos medios permanezca constante?