Investigación: La mitad del cuadrado, parte 7.

El área

La última de las cuatro soluciones anteriores nos puede trasladar a una interesante forma de abordar el concepto de área. Si el trabajo se ha hecho con papel milimetrado, puede que hayan obtenido soluciones del tipo:

Todas estas soluciones pueden responder a un mismo procedimiento: Dividir el cuadrado en cuadrados más pequeños y tomar la mitad. A partir de aquí podemos obtener figuras más o menos elegantes.

Podemos contrastar este enfoque del área que podríamos llamar “estático” y que podríamos completar con otro más “dinámico” como el que ofrece Parker (1988) que considera el área como la cantidad de plano barrido por un segmento de recta móvil que ha permanecido siempre paralelo al original. En Cabri podemos conseguir este efecto mediante un punto que se desplaza sobre un segmento y la traza que deja ese segmento (o el lugar geométrico).

 

Solución 7.1 Área
Podemos considerar el área como la cantidad de plano barrido por un segmento de recta móvil que ha permanecido siempre paralelo al original. En Cabri podemos conseguir este efecto mediante un punto que se desplaza sobre un segmento y la traza que deja ese segmento (o el lugar geométrico).

 


En nuestro caso, el desplazamiento de un segmento que mida la mitad del lado, en una dirección perpendicular a sí mismo, nos lleva a la primera solución apuntada en el enunciado.

Solución 7.2 Área del rectángulo
El desplazamiento de un segmento que mida la mitad del lado, en una dirección perpendicular a sí mismo, nos lleva a la primera solución apuntada en el enunciado.

 



Solución 7.3 Área del paralelogramo
Cuando el segmento no se mueve en una dirección perpendicular sino formando un ángulo agudo consigo mismo, mientras permanece paralelo a su posición original, atravesará el mimo área y obtendremos un paralelogramo.


Lo sorprendente de esta visión para el problema que nos ocupa, es que aporta nuevas soluciones, ya que el camino que describe no influye en la cantidad de superficie barrida (será la misma que si lo hiciera en perpendicular), podremos cambiar de dirección tantas veces como deseemos, siempre que cumpla la condición de mantenerse siempre paralelo a su posición original.


Parker va más lejos ya que, si el segmento se acorta en proporción constante a medida que se desplaza, generará un trapecio. El área será la longitud media del segmento por la distancia que atraviesa. Para obtener una solución a nuestro problema únicamente nos tendremos que asegurar es que dicha media sea exactamente la mitad del lado del cuadrado. En el límite, si uno de los lados se reduce a un punto y el otro abarca todo el lado del cuadrado, tendremos la solución del triángulo.

 

Solución 7.4 Área del trapecio y del triángulo
Si el segmento se acorta en proporción constante a medida que se desplaza, generará un trapecio. El área será la longitud media del segmento por la distancia que atraviesa. Para obtener una solución a nuestro problema únicamente nos tendremos que asegurar es que dicha media sea exactamente la mitad del lado del cuadrado. En el límite, si uno de los lados se reduce a un punto y el otro abarca todo el lado del cuadrado, tendremos la solución del triángulo.

 


 

Solución 7.5 Cambio de dirección
Para acabar este apartado, podemos modificar las soluciones anteriores si hacemos variar la dirección del segmento que decrece.