Descripción: Este artículo utiliza el software de Geometría Dinámica para el análisis de obras de arte. A la capacidad de este tipo de software para generar figuras en movimiento y diseños interactivos, se amplia ahora la posibilidad de colocar una imagen en la pantalla de dibujo para estudiarla, marcar líneas y polígonos, trazar paralelas y perpendiculares, medir y realizar transformaciones para observar pautas, simetrías y relaciones. Esto permite conectar dos áreas de conocimiento que en muchos momentos de la historia han ido unidas: el arte y las matemáticas, y que esa conexión esté al alcance de los estudiantes. En palabras de Alberto Durero: las matemáticas, las más precisas lógicas y gráficamente constructivas de todas las ciencias, deben ser un ingrediente importante del arte. José Antonio Mora Sánchez


Introducción

Esta sección utiliza los programas de Geometría Dinámica para el análisis de obras de arte. A la capacidad de este tipo de software para generar figuras en movimiento y diseños interactivos, se amplia ahora la posibilidad de colocar una imagen en la pantalla de dibujo para estudiarla, marcar líneas y polígonos, trazar paralelas y perpendiculares, medir y realizar transformaciones para observar pautas, simetrías y relaciones. Esto permite conectar dos áreas de conocimiento que en muchos momentos de la historia han ido unidas: el arte y las matemáticas y que esa conexión esté al alcance de los estudiantes. En palabras de Alberto Durero: las matemáticas, las más precisas lógicas y gráficamente constructivas de todas las ciencias, deben ser un ingrediente importante del arte.

En la página de Internet Geometría Dinámica y Calculadoras Gráficas en Matemáticas, se pueden revisar antecedentes de este nuevo trabajo dedicado a las obras de arte. Allí se exponen algunas muestras del uso de la geometría dinámica para la creación de figuras animadas e interactivas en campos diversos como el estudio de los mosaicos en la Alhambra -La Mitad del Cuadrado-, el diseño de poliedros -Construcción de un Omnipoliedro-, la utilización de los mecanismos en la tecnología –Geometría y Mecanismos-, y también las mismas matemáticas –Coordenadas con Cabri II-. El objetivo de todos estos trabajos es establecer relaciones entre las matemáticas y otras áreas de conocimiento, pero estas conexiones no sólo se encuentran en conceptos implicados, sino que también aparecen en los métodos que se utilizan y además suponen el establecimiento de lazos afectivos para los alumnos que aprenden matemáticas. Si los conocimientos se desarrollan en un contexto conocido y agradable para el alumno, es lógico que también mejore su rendimiento en los contenidos geométricos.

El análisis que se realiza de cada obra vendría a suponer el proceso inverso al realizado por el artista: si él reúne y distribuye los elementos, las formas y los colores para componer la obra, nosotros haremos lo contrario, diseccionaremos su obra en la búsqueda de una idea inicial que, conscientemente o no, el artista tenía en su mente previamente y después ha ido evolucionando durante su realización. Con ello pretendemos acercarnos al tipo de conocimientos y técnicas que disponía y sus intenciones. Los esquemas geométricos realizados parten de los estudios de Capdevila (1992), Bouleau (1996) y Livio (2006).

Se han seleccionado algunos cuadros que utilizan diferentes polígonos para crear la estructura: el triángulo (Goya y Rafael), el cuadrado (Ghirlandaio), el hexágono (P. de la Francesca), el rectángulo (Velázquez y Seurat) o el círculo (TIziano). Es un conjunto de obras de distintas épocas y estilos a las que aplicamos modernas técnicas informáticas que permiten sacar a la luz lo que C. Bouleau llama la geometría secreta de los pintores, en un futuro se ampliará este tipo análisis con otros autores, con el objetivo de poner movimiento al trabajo de muchos artístas y matemáticos que han querido ver reflejada su pasión por las matemáticas en las obras de arte. Y esto no debe extrañarnos porque los matemáticos solemos pensar en nuestra tarea en términos en cierto modo artísticos, hablamos de la belleza de los razonamientos, buscamos que nuestras ideas se puedan trasladar y transformar para ocuparse de situaciones semejantes y nos fascina cuando encontramos la periodicidad o la simetría en nuestros modelos de la realidad.

El procedimiento seguido para mostrar los elementos geométricos se plantea como una secuencia de seis pasos que desvela progresivamente la estructura de la obra, en cada uno se muestran nuevas líneas y figuras. Está diseñado mediante un applet java que dispone de una especie de “mando” a la derecha que se sube y baja haciendo de interruptor para que aparezcan los trazos que se superponen a la imagen del cuadro y a los dibujos realizados anteriormente. Lo veremos en una secuencia de imágenes realizada sobre El quitasol de Goya. Las explicaciones a las líneas las veremos más adelante en el primero de los cuadros analizados.


Cada salto de la imagen hace aparecer un nuevo elemento que desvela una posible idea geométrica del pintor. Después de este estudio ya no veremos la obra de la misma forma en que lo hacíamos antes, cada nuevo conocimiento que adquirimos sobre el cuadro hace que cambie nuestra relación con él: el muro de la izquierda que antes podía pasar más desapercibido, ahora se hace más patente, la rama de la derecha ya no está puesta al azar, su presencia cumple un objetivo, el de equilibrar las zonas superior derecha e izquierda del cuadro y las formas triangulares llevan nuestra mirada hacia los personajes.

 

Los diseños se hicieron inicialmente con el programa Cabri II. La aparición de la versión plus ofrece la posibilidad de introducir un archivo de imagen y colocarlo en la zona de dibujo insertado dentro de un rectángulo que sirve de sistema de referencia para añadir puntos y trazar líneas. El problema de Cabri en las fechas en que se escribe este artículo –octubre de 2006-, es que todavía no ha resuelto la exportación de archivos hacia applets java insertados en una página web y esto es una dificultad grande en un trabajo de este tipo porque obliga al lector a disponer del programa en su ordenador y tener unas nociones mínimas de su manejo, mientras que el applet se puede abrir en cualquier ordenador que disponga de un navegador y la manipulación no requiere de conocimientos previos.

Este inconveniente ya lo ha resuelto Geogebra, un gran programa de geometría dinámica con la ventaja añadida de ser de código libre. Los puntos de partida de estos dos programas son diferentes: Cabri es un programa de geometría que podríamos llamar “puro” por trabajar con objetos geométricos (puntos, líneas, polígonos, etc.) y sus relaciones (paralelismo, perpendicularidad, isometrías, etc.), la geometría de coordenadas es para Cabri algo añadido a lo anterior. Por el contrario, Geogebra remite desde el principio a la geometría de coordenadas con una ventana algebraica que mantiene a la vista los valores que toman las variables y las coordenadas de los puntos en cada momento, esto lo hace especialmente apto para el estudio de funciones ya que las relaciones entre gráfica y expresión algebraica aparecen más evidentes. Para el dibujo con regla y compás supone algunas pequeñas dificultades fácilmente resolubles si cambiamos un poco la forma de pensar y el tipo de razonamientos que utilizamos.

En la versión escrita de este artículo aparecen para cada obra la imagen limpia del cuadro y la “decorada” con los puntos, líneas y figuras superpuestas. Las explicaciones hacen referencia al paso correspondiente del applet. Si resulta difícil seguir el texto quizás sea conveniente manipular la imagen con el explorador para ver aparecer los elementos geométricos de la composición.