Investigación: Los números reales, parte 14. Rafael Losada Liste

 

En el ejemplo anterior podemos observar una nueva dificultad. Al haber cuatro raíces, no basta con el signo de la primera derivada para distinguirlas.

Afortunadamente, el lema de Thom nos garantiza que los signos (-1, 0 y 1 representan negativo, nulo y positivo) de las sucesivas derivadas en esas raíces siempre se distinguirán en al menos uno. Esto significa que cualquier raíz de un polinomio queda perfectamente determinada añadiendo a la condición de anular el polinomio los signos que toman las sucesivas derivadas del polinomio en esa raíz.

¡Podemos continuar!

En muchas ocasiones encontraremos que ni siquiera es posible expresar las raíces de un polinomio con ayuda de los radicales, como en el caso del siguiente ejemplo:

 

 

Ruffini y Abel demostraron que no puede existir una expresión con radicales que resuelva, en general, cualquier ecuación polinómica de grado 5 ó superior, aunque sí es posible en algunos casos particulares (como, por ejemplo, cualquier raíz n-ésima de un entero).

Sin embargo, gracias al lema de Thom, seguimos pudiendo identificar perfectamente cualquier raíz de cualquier polinomio de coeficientes enteros.