Investigación: La mitad del cuadrado, parte 9.

Aproximaciones al infinito

Podemos llevar la mitad del cuadrado a cursos posteriores en los que queramos introducir a los estudiantes en la idea del infinito y hacer aflorar una paradoja clásica que se deriva de un abusivo paso al límite. Las siguientes construcciones son soluciones de la mitad del cuadrado:

La sucesión de los perímetros de las mitades sombreadas es una sucesión que tiende a 4, pero en el límite, la línea poligonal tiende a la diagonal, es decir, en el límite debería valer . La cuestión la reconoció Rafael Losada del IES Pravia de Asturias como una falsa paradoja, porque las poligonales no corresponden a funciones derivables, por lo que no se puede asegurar que la sucesión de las longitudes converja a la longitud del límite.


Otra forma de acercarnos al concepto de infinito es mediante una suma infinita de fracciones:

Se trata de , es decir: 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … Se utiliza un procedimiento en el que cada cuadrado nuevo tiene por lado siendo l el lado del anterior y se forman figuras que después se puedan repetir por autosemejanza.