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Descripción: Se muestra la forma de construir algunos arcos y se sugiere intentar reproducir dichas construcciones. José Antonio Mora Sánchez


Aspectos técnicos de los arcos

Un arco es un elemento utilizado en arquitectura para unir dos pilares o dos muros con piezas pequeñas. De esta forma podemos construir una edificación sobre un hueco: una casa, un puente o un acueducto. Aquí tienes las imágenes de algunos arcos obtenidos de Wikipedia: el Arco del Triunfo en París, el monasterio de las Huelgas en Burgos y La Pedrera en Barcelona, obra de Gaudí.

El problema que intenta resolver el arco es descargar el peso de la construcción cuando va a recaer sobre una zona hueca. Si no queremos que se rompa la edificación podemos diseñar una curva que haga que el peso se dirija hacia los laterales.

La construcción de arcos

En el applet tenemos el diseño de un arco ojival superpuesto a la imagen de la puerta de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca.

En la parte superior hay un deslizador llamado Construcción. Si movemos el punto lentamente de izquierda a derecha veremos que el arco se borra por completo y se inicia un proceso automático en el que van apareciendo progresivamente tanto el arco como los elementos auxiliares en los que se apoya su estructura. Más adelante se realizará la propuesta de construir diez arcos distintos en la pantalla del ordenador con las orientaciones del applet y la ayuda del navegador.

Hay un segundo deslizador designado por Distancia al vértice, que permite modificar el arco ojival para poderlo ajustar a otra puerta distinta en la que la inclinación de los arcos sea diferente. En los diseños se ha tenido la previsión de dejar algún elemento móvil (normalmente uno o dos puntos) que nos permita después modificar las curvas para que se puedan ajustar a otros arcos del mismo tipo, más o menos estilizados.




La propuesta de trabajo

Hay diversos tipos de arco dependiendo de la curva que utilicemos para cerrarlo. Cada archivo contiene dos figuras: en la de la izquierda hay una imagen del arco construido y, a la derecha, otra preparada para ser diseñada por el lector. Las construcciones se han realizado con GeoGebra, tomando como fondo una imagen de ese arco utilizado en una edificación real.



La figura de la izquierda admite animación como ya vimos en el arco ojival: si desplazamos hacia la derecha el deslizador Construcción, vemos aparecer las indicaciones del diseño. En primer lugar desaparece el arco, y comienzan a aparecer nuevos elementos que son las pistas para la construcción geométrica de la curva.


a) El punto medio y el segmento que une ese punto con uno de los extremos.
b) El segmento comienza a girar alrededor del punto medio anterior describiendo un arco.
c) Continúa el arco.
d) El arco está completo.
e) Desaparecen los elementos accesorios para quedarnos únicamente con la curva.

 

No se pide la reproducción de ese movimiento, sólo la construcción del arco. Sobre la imagen de la derecha se puede componer la curva a partir de las herramientas de la parte superior (sólo se han seleccionado algunas de las que ofrece GeoGebra). Si se prefiere trabajar con el programa GeoGebra, previamente hay que instalarlo en el ordenador. Se descarga gratuitamente en la siguiente dirección: http://www.geogebra.org/cms/. Cuando el programa está instalado, al hacer una doble pulsación sobre el applet, se abrirá el programa con el archivo que se ha creado.

 

 

   

En varios de los arcos hay un segundo deslizador que deja algún elemento libre para ser accionado. En el caso del arco rebajado tenemos un segundo deslizador titulado Se rebaja que indica cuánto se ha bajado el centro para que el arco no se eleve demasiado. Para verlo mejor, es interesante dejar el deslizador Construcción en una posición intermedia:

 

Tareas complementarias para la clase.

Algunas de las tareas que se puede proponer a la clase

a) Al acabar el diseño geométrico, describe con palabras el proceso seguido.

b) En ciertas condiciones, unos arcos son casos particulares de otros, por ejemplo, si en el arco rebajado subimos el centro, terminará coincidiendo con el arco de medio punto. Encuentra casos parecidos de relaciones entre distintos arcos.















1. Arco de medio punto


El arco de medio punto utiliza media circunferencia para descargar los pesos que recaen en el espacio vacío Comenzó a ser utilizado en Mesopotamia durante el tercer milenio antes de Cristo y sigue siendo utilizado en la actualidad. Hemos elegido la imagen de una ventana de la iglesia de Santa Eulalia en Susín, Biescas, Huesca.

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Otros ejemplos:



Castillo de la Mola (Novelda, Alicante)

Palacio de Godoy (Cáceres)

El partal de la Alhambra, Granada.

 

 

 













2. El arco rebajado

El arco rebajado se construye cuando no hay suficiente espacio en la parte superior para el arco de medio punto. La solución consiste en colocar el centro del arco más abajo que el anterior. La encontramos en la casa Pagola en Calahorra, La Rioja.


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Otros ejemplos:




Puente viejo sobre el río Génave (Jaen)

Puente sobre el río Órbigo (Fuente La Vizana, Alija del Infantado, León)

Puerta baja de la muralla de Daroca (Zaragoza)

 

 

 













3. Arco ojival


Está compuesto por dos arcos de circunferencia simétricos. Utilizaremos una fotografía de la iglesia de San Pantaleón en Cuenca.

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Otros ejemplos:



Catedral de Palencia

Iglesia de San Lorenzo (Ciudad Real)

 

 














4. Arco de herradura


Fue muy utilizado en el arte visigodo y en el hispano musulmán. Está compuesto por dos pequeños arcos de circunferencia a los lados y un gran arco central en la parte superior. Lo veremos en la iglesia de San Pedro de Balsemao en Lamego, Portugal.

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Otros ejemplos:



Mezquita de Córdoba

Monasterio de las Claras (Tordesillas, Valladolid)

 














5. El arco apuntado

Está formado por cuatro arcos de circunferencia de 60º que se colocan sobre los lados exteriores de triángulos equiláteros. Lo estudiaremos en el convento de Santo Domingo en Estella, Navarra.


 

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6. El arco conopial

Es un arco de cuatro centros que en la parte central invierte el arco hacia arriba colocando el centro en la parte superior, con ello consigue formar un vértice. Lo veremos sobre una imagen de La Cartuja de Sevilla.


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Otros ejemplos:




Catedral de Murcia

Iglesia de Santa María Magdalena (Torrelaguna, Madrid)

 

 

 














7. El arco carpanel

El arco carpanel es un arco rebajado con tres centros, dos de ellos se utilizan para formar pequeños arcos en los extremos por lo que adquiere una forma redondeada. Lo vamos a estudiar en la portada de una casa de Palma de Mallorca.



Otros ejemplos:




Cáceres

Hospital de Nuestra Señora de los Milagros (Guadalcanal, Badajoz)

Puerta de Loreto (Orihuela, Alicante)

 

 

 













8. El arco trebolado

Está formado por tres arcos de circunferencia que reproducen el perfil de un trébol. Lo tenemos en el Mihrab de la Mezquita de Córdoba.


 


Otros ejemplos:




Catedral de Santiago de Compostela

Mezquita de Córdoba

 

 

 














9. El arco tudor

Es un arco rebajado que se construye a partir de cuatro centros: dos de ellos de radio más pequeño sirven para redondear los extremos mientras los otros dos tienen el centro en la parte inferior y se unen en la mediatriz. Se ha construido sobre una imagen de una de las puertas del Taj Mahal en la India.


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Otros ejemplos:





Mezquita del imam (Isfahan, Irán)

Puente Khaju (Isfahan, Irán)

Taj Mahal (Agra, India)

 

 

 













10. El arco rampante

Es asimétrico y está formado por dos arcos de 90º, uno con mayor radio que el otro, mientras que la suma de los dos radios es igual al segmento AB. Lo encontramos en las puertas traseras de la iglesia de la Magdalena junto al castillo de la Mola en Novelda, Alicante.


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El trabajo en clase

Se ha realizado la propuesta a dos grupos: uno de ellos seguía el primer curso de Estalmat (Estímulo del Talento Matemático) formado por alumnos de 1º y 2º de ESO de centros de la Comunidad Valenciana. Por otra parte, este material se experimentó con un grupo de la asignatura optativa de 3º de ESO Estructuras Espaciales en el IES San Blas de Alicante.

En ambos casos la presentación es la misma: los alumnos se encuentran con la secuencia animada a la izquierda que pretende sugerirles las instrucciones del arco y deben construirlo sobre la imagen de la derecha. En el transcurso del trabajo el profesor realiza algunas sugerencias de trabajo a la clase:

a) Al acabar el diseño geométrico, describe con palabras el proceso seguido.
b) En ciertas condiciones, unos arcos son casos particulares de otros, por ejemplo, si en el arco rebajado subimos el centro, terminará coincidiendo con el arco de medio punto. Encuentra casos parecidos de relaciones entre distintos arcos.
c) Investiga nuevos tipos de arcos utilizados en arquitectura que no han sido propuestos aquí.


Grupo Estalmat de la Comunidad Valenciana


El grupo de Estalmat había recibido en enero de 2008 dos sesiones de hora y cuarto de duración en las que Francisco Jesús García y Jose Antonio Mora habíamos intentado mostrar las posibilidades del software de Geometría Dinamica mediante la resolución de algunos problemas geométricos y una pequeña investigación sobre mosaicos con polígonos regulares.


La tercera sesión estaba programada en abril y se dedicó a la construcción de arcos. Se les presentó la colección de secuencias animadas de construcción de arcos para pedirles el diseño de la curva y una breve explicación por escrito del trabajo realizado. El trabajo del profesor intentó ser de guía: proporcionar ayudas y en algunos casos sugerir ideas. El desarrollo de la clase fue muy animado, el problema surgió de la escasez de tiempo, al cabo de un cuarto de hora cuando estaba con algún grupo ya había más de media docena de manos pidiendo ayuda y en la muchos casos intentando comunicar sus soluciones.


La mayoría de los grupos consiguió terminar los cinco primeros arcos y sólo algunos avanzaron algo más. Estas son algunas de las explicaciones que dieron, en algunos casos incompletas y en otros redundantes, pero todas muestran su interés por comunicar sus soluciones:


1. Medio punto (Juan José Puente y Emilio Sánchez). Hemos obtenido el punto medio de A y B. Después hemos hecho un arco desde B hasta A dado el punto O (centro)

2. Arco Rebajado (Marc Tomás y Juan A. Montesinos). Se traza el punto medio entre A y B. Luego se traza un punto a x distancia del punto O paralelo a los segmentos y se traza un semicírculo que pase por A y B.

3. Arco ojival (Marta Alonso y Oscar Roldán). Se obtienen los puntos medios de los extremos superiores y de los inferiores. Se traza la recta que pasa por esos puntos. Se selecciona el arco tomando el centro en un punto de esa línea y los extremos superiores son A y B.

4. Arco de herradura (Marc Monzó). Primero dibujamos una circunferencia con centro en O y radio en A. Hacemos la mediatriz, situamos un punto P sobre la intersección de la circunferencia y la mediatriz. Hacemos otra circunferencia con centro en P y radio en O. Obtenemos los puntos Q y Q’ de intersección de las dos circunferencias. Trazamos tres arcos: uno con centro en O y extremos en B y Q’, el segundo con centro en O y extremos en A y Q y el tercero con centro en P y extremos en Q y Q’

5. Arco apuntado (no puso su nombre pero es un genio del telegrama). Punto medio, triángulo equilátero, punto medio izquierda y derecha, arco desde extremos hasta el vértice y luego un triángulo igual haciendo lo mismo.


Grupo Estructuras Espaciales en el IES Sant Blai de Alicante.


 

Un grupo de 24 alumnos de 3º de ESO en el IES Sant Blai que trabajaba dos horas semanales en una pequeña sala de ordenadores con conexión a Internet en grupos de tres alumnos. Habían aprendido a trabajar con programas de Geometría Dinámica durante varios meses. Antes de llegar a los arcos habían realizado varios proyectos que indagaron en temas como la construcción de mosaicos, el cubo Soma, el fractal de Sierpinski, el diseño de logotipos o el estudio de los misterios en el cuadro Las Meninas de Velázquez. Este grupo tenía mucha más destreza en el uso de GeoGebra y disponía de más tiempo para realizar los trabajos y redactar sus conclusiones.


A esta clase se le propuso la tarea añadida de detectar algún punto móvil y hacer la construcción se pudiera alterar dependiendo de él.








Uno de los grupos fue más lejos al incorporar a cada uno de sus diseños algún deslizador. Después hacían depender algunos de los elementos del arco de ese parámetro. Lo vemos en el trabajo de Irene, Yadira y Guillermo para el arco trebolado:


 

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Soluciones:

Para no repetirnos, en todas las construcciones nos referiremos a tres puntos básicos de la construcción: A y B serán los vértices superiores de los segmentos dibujados y O su punto medio.

1. Medio punto: Dibujamos un arco dados el centro (O) y dos extremos (B y A, los vértices superiores de los segmentos, en ese orden).

2. Rebajado: Se toma un segundo punto P situado por debajo de O sobre la mediatriz. Se traza el arco con centro en P y extremos en B y A.

El arco rebajado es un arco de medio punto cuando P coincide con O (no se llega a rebajar).

 

3. Ojival: Se dibuja el segmento OA y situamos un punto P sobre él. Trazamos la mediatriz de AB. Se dibuja el arco con centro en P y extremos en B y un tercer punto situado sobre la mediatriz. Dibujamos el otro arco por simetría axial del primero respecto de la mediatriz.

El arco ojival se convierte en arco de medio punto cuando P se sitúa sobre O.

 

4. Herradura: Se dibuja la circunferencia con centro en O y radio en A. Dibujamos otra circunferencia con centro en un punto P sobre la mediatriz y radio en O. Obtenemos los puntos de intersección de las dos circunferencias Q (a la izquierda) y Q’ (a la derecha). Trazamos tres arcos: uno con centro en O y extremos en B y Q’, otro con centro en P y extremos en Q’ y Q, y el último con centro en O y extremos en Q y A.

5. Apuntado: Se dibujan triángulos equiláteros que tengan por bases AO y OB; llamamos P (izquierda) y Q (derecha) a los vértices superiores. Dibujamos también el triángulo equilátero con la base PQ en el que R será el vértice superior.

Dibujamos ahora dos arcos: uno con centro en O y extremos en P y A y el que tiene centro en Q y extremos en R y P. Los otros dos arcos se obtienen por simetría respecto de la mediatriz al segmento AB o bien trazando los arcos al otro lado.

 

6. Conopial. Se dibuja el segmento OA y situamos un punto P sobre él. Trazamos un arco de 90º con centro en P y radio en A (quizás tengas que dibujar primero la circunferencia completa). Llamamos Q al punto de intersección de la circunferencia anterior con la perpendicular a AB que pasa por P (Q es además el extremo del arco anterior). Prolongamos el segmento PQ a partir de Q una distancia equivalente a PO, nos dará un punto R. Trazamos un nuevo arco de 90 con centro en R y extremos en Q y en la mediatriz de AB. La otra parte del arco se puede dibujar por simetría respecto de la mediatriz.

Cuando P coincide con O, el arco es de medio punto.

 

7. Carpanel. Se dibuja el segmento OA y situamos un punto P sobre él. Dibujamos el triángulo equilátero que tiene por base AP , llamamos Q a su vértice superior y trazamos el arco con centro en P que va desde Q hasta A.. Se traza la mediatriz del segmento AB. El arco opuesto se obtiene por simetría respecto de la mediatriz. Llamamos R al punto de intersección de la mediatriz con el lado PQ del triángulo equilátero. Unimos los extremos de los dos arcos con un nuevo arco que tiene por centro R y extremos en los vértices superiores de los triángulos equiláteros.

Cuando P coincide con A tenemos el arco rebajado y cuando coincide con O será un arco de medio punto.

 

8. Trebolado: Se dibuja el segmento OA y situamos un punto P sobre él. P´ será el simétrico de P respecto de O. Dibujamos el triángulo equilátero que tiene por base PP’ y el vértice superior lo llamamos Q. Ahora podemos hacer un arco de 120º con centro en P y extremos en A y en el lado izquierdo del triángulo equilátero (puede que necesites antes trazar la circunferencia para encontrar el punto R del triángulo). Di bujamos el arco simétrico respecto de la mediatriz que dará otro punto R’ sobre el otro lado del triángulo). Por último, trazamos el arco de 300º con centro en Q y extremos en R y R’.

9. Tudor. Se divide el segmento OA en cuatro partes iguales con la herramienta punto medio. Esto genera 5 puntos que numeramos de izquierda a derecha, el 1 coincide con A y el 5 con O. Se traza el triángulo equilátero que tiene por vértices inferiores 1 y 4. Llamamos Q al vértice superior y dibujamos el arco de 60º con centro en 4 y extremos Q y A (1). Se traza la recta que prolonga el lado derecho del triángulo y se lleva hasta la intersección con la prolongación del segmento (barra) de la derecha: el punto de intersección lo nombraremos R. Trazamos el arco con centro en R, el primer extremo sobre el vértice superior del arco (en la mediatriz) y el punto Q. Los otros dos arcos se dibujan por simetría.

10. Rampante. Se divide el segmento OA en dos partes desiguales. En una de ellas se traza un arco de 90º . Cuando se llega al punto más alto, se cierra con un pequeño arco también de 90º hasta llegar a la línea vertical en A. Se completa con un segmento recto hasta llegar a A.







Direcciones de interés
:

 

Página principal de Geogebra http://www.geogebra.org/cms

Geometría dinámica, página principal del equipo G4D http://www.geometriadinamica.es

Arranz, José Manuel. Geometría Dinámica. http://roble.pntic.mec.es/jarran2

Losada, Rafael. Presentaciones con GeoGebra. http://www.iespravia.com/rafa/rafa_geogebra.htm

Mora, José Antonio. Geometría dinámica en matemáticas. http://jmora7.com

Sada, Manuel. Ejemplos de webs interactivas de matemáticas. http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra

Miranda, Rafael. Blog de Geometría Dinámica. http://www.geometriadinamica.cl/blog

Wikipedia http://es.wikipedia.org

Sánchez, Eduardo. La obra de arte: conceptos y técnicas. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/bachillerato/arte/arte/indice.html