4.2 El nombre del grupo cristalográfico

Descripción: Este artículo pertenece a una serie que bajo la categoría "Mosaicos" utiliza el software de Geometría Dinámica para el análisis de los mosaicos.


Como resumen de los apartados anteriores, podemos reseñar que hay cuatro isometrías, que son los movimientos en el plano que conservan las distancias. Dos de ellas mantienen la orientación: la traslación y la rotación. Las otras dos invierten la orientación: la simetría y la simetría con deslizamiento. En matemáticas se ha estudiado este tema desde la óptica de las estructuras y se ha demostrado a que hay exactamente 17 grupos llamados cristalográficos planos. Reciben ese nombre porque el estudio surge del trabajo de científicos y geómetras como Fedorov, que a finales del siglo XIX estudiaban la estructura de los cristales.

La estructura de grupo hace necesarias tres condiciones:

 

  • Que exista un movimiento identidad (la traslación de vector nulo o el giro de 0º)

  • Que cada movimiento tenga inverso, es decir, que cada isometría se pueda deshacer con otra (una traslación con otra de vector igual pero de sentido contrario, una simetría axial con otra que tenga el mismo eje, etc.).

  • Que la composición de dos isometrías sea también una isometría del grupo (ley interna). Esto en los movimientos se traduce en ideas del tipo “dos simetrías de ejes paralelos es igual a una traslación de vector perpendicular a los ejes de módulo igual al doble de la distancia que separa los ejes”.

 

Este trabajo es útil para la catalogación de un mosaico porque permite diferenciar bien unos mosaicos de otros y ofrece una información adicional ya que la pertenencia de un mosaico a uno de los grupos nos garantiza el conocimiento de todos los detalles del mosaico y los de cualquier otro con las mismas características. Si queremos saberlo todo de un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo.

Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo, que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslación colocados sobre sus lados (no confundir con la baldosa mínima que puede ser aún más pequeña al poder utilizar isometrías distintas de la traslación). Con rectas paralelas a los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos posibles, se toma aquel que tenga los vértices sobre centros de rotación de orden máximo. Si no hay centros de rotación (orden 1), hacemos coincidir los ejes de simetría con los lados o con las diagonales.

La notación establecida por la Unión Internacional de Cristalografía (Comité Español), también conocida como notación de Hermann-Mauguin, consta de cuatro símbolos ordenados:

  • Símbolo 1. Es c (“centrado”) cuando el paralelogramo primitivo es un rombo que se puede enmarcar centrándolo en un rectángulo y p (“primitivo”) en cualquier otro caso. De los 17 grupos, sólo dos son centrados: cm y cmm.

  • Símbolo 2. El mayor orden de rotación que podamos encontrar. Puede ser 1 (ángulo de 360º), 2 (ángulo de 180º), 3 (ángulo de 120º), 4 (ángulo de 90º) ó 6 (ángulo de 60º). Cuando un mosaico tiene un centro de rotación de un orden determinado, también tendrá otros centros de órdenes divisores.

  • Símbolo 3. Corresponde al tipo de simetría y puede tener dos símbolos: m (“mirror” = espejo) simetría especular o axial y g (“glide” = deslizamiento), cuando tiene simetría con deslizamiento.

  • Símbolo 4. La misma clasificación anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetría (m o g).

 

En el siguiente diagrama se expone un algoritmo para averiguar a cuál de los 17 grupos corresponde un mosaico. El nombre se encuentra en la penúltima columna en color naranja. En muchas ocasiones se usa una abreviatura estándar de esta cadena de símbolos, la vemos en la última columna en color amarillo. En esta forma abreviada, una m o algunos dígitos no aparecen porque pueden deducirse sin posibilidad de confusión con otro grupo. Es necesario advertir que los diseños p31m y p3m1 son una excepción a esta notación. Para más información, recomendamos una visita a la página de Wikipedia dedicada a los grupos cristalográficos (en inglés).
 

 

 


En la página de Internet se ilustra cada grupo cristalográfico con uno o varios mosaicos. Los applets permiten la interacción sobre la construcción de varias maneras:
• Los elementos de simetría del mosaico aparecen y desaparecen al accionar los interruptores de la parte inferior.
• Se puede reproducir una secuencia animada de la construcción de la baldosa generadora del mosaico a partir de un polígono básico que transforma su silueta para adquirir una nueva forma o se descompone en piezas más pequeñas que se unirán a otras iguales a ella.
• La composición del mosaico a partir de la nueva forma generada utilizando las isometrías

Estas dos últimas secciones se activan desde un deslizador de color verde colocado a la izquierda del mosaico.
Por razones de espacio, en este artículo sólo se han podido reproducir ocho de los mosaicos. Además, ha habido que sustituir las animaciones por imágenes fijas o secuencias de imágenes del proceso seguido.