1.3 Plan de trabajo

Descripción: Este artículo pertenece a una serie que bajo la categoría "Mosaicos" utiliza el software de Geometría Dinámica para el análisis de los mosaicos.


El estudio de los mosaicos que se propone en este artículo no requiere una gran instrucción matemática previa, por lo que puede interesar a alumnos que en otro caso plantearían dificultades. Además, se pueden diseñar distintos niveles de profundización en el trabajo de forma que todos puedan realizar aprendizajes a su nivel, algo que muchas veces es difícil de conseguir: la diferenciación en nuestras clases de matemáticas.

Comenzaremos con el estudio de las isometrías: los movimientos en el plano que conservan las distancias. Se ha creado una colección de applets java que ilustran, en la página web que desarrolla este trabajo, cada una de las de las isometrías que se utilizan después a partir de fotografías de Pilar Moreno que se encuentran en la sección de Exposiciones Virtuales de Divulgamat , y en la sección Fotografías y Matemáticas del Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado. Se puede observar cuándo una figura es simétrica por traslación, rotación o simetría axial. A continuación se lleva cada movimiento al estudio de un mosaico para observar su efecto sobre la composición: el significado de que un mosaico sea simétrico al realizar alguno de los movimientos (trasladar, girar, simetría axial o simetría con deslizamiento), es decir, en qué casos un mosaico queda invariante al realizar una de las cuatro isometrías.

Hay diversas formas de entender esta idea de coincidencia del mosaico con el transformado, normalmente los mosaicos son coloreados (o en blanco y negro) pero en este artículo sólo se tendrá en cuenta la forma de los diseños creados, nunca su color, es decir, todas las figuras, por ejemplo, con forma de avión, de un mosaico serán tomadas como iguales, tanto las negras como las verdes o las marrones y se incluye entre ellas las de color blanco que surgen como huecos entre las coloreadas, y podremos pasar de unas a otras mediante movimientos.

La segunda sección de este trabajo se dedica a la construcción de celosías: mosaicos formados por la repetición de una baldosa cuadrada que contiene un motivo en su interior. Normalmente este diseño contiene algún elemento de simetría axial o rotacional. Es la forma de decorar la parte superior de los muros que rodean las casas: se pone la primera baldosa y se sigue un patrón de colocación hasta que se completa la pared. De todas las formas posibles de colocación se han seleccionado cuatro, básicamente consisten en superponer una baldosa sobre otra ya colocada y moverla después: trasladarla, girarla (90º alrededor de un vértice o 180º alrededor del punto medio de un lado) o bien “dar la vuelta a la baldosa” que se correspondería con colocar la simetría axial respecto de un lado del cuadrado. Estudiaremos las composiciones que se producen y veremos que bajo ciertas condiciones, distintos movimientos dan como resultado la misma celosía. Para cerrar este apartado utilizaremos una pequeña colección de baldosas del Museo del Azulejo de Onda que completan un catálogo en el que aparecen los distintos elementos de simetría que pueden darse en el interior de la baldosa.

El trabajo se completa con un estudio más profundo de ciertos mosaicos utilizando para ello diseños de M.C. Escher, algunos islámicos y uno de los mosaicos semirregulares. En cada uno de ellos se realiza el estudio iniciado en las celosías analizando una a una las isometrías que lo mantienen invariante para llegar al grupo cristalográfico al que pertenece. La forma de hacer aparecer los elementos de simetría consiste en activar una colección de interruptores (GeoGebra los llama casillas de tildado).

 

 

  • Los centros de rotación se marcan en distintas tonalidades de rojo dependiendo de su orden.
  • Los ejes de simetría aparecen como una línea punteada de color verde.
  • Los vectores de traslación se representan como dos vectores de color morado con trazo muy grueso.
  • Los ejes de simetría con deslizamiento se ven como líneas punteadas de color amarillo. Normalmente también aparece además un vector paralelo al eje en color marrón, es el deslizamiento que hay que realizar después de la simetría para que el mosaico vuelva a coincidir consigo mismo.
  • El grupo de simetría (en azul) es el código correspondiente al grupo cristalográfico según la notación simplificada que se verá más adelante.


Una vez realizado el trabajo de análisis y catalogación de cada mosaico, se realiza un segundo estudio que se gobierna desde un deslizador verde colocado en la zona superior izquierda de la pantalla que parte de una baldosa básica, generalmente un polígono (cuadrado, triángulo, rectángulo, rombo o hexágono) que puede verse sometido a dos tipos de transformaciones:

  • Deformación de algunos de los lados que se lleva a los otros lados mediante traslaciones, giros o simetrías. Para cada mosaico se reproducen aquí algunas instantáneas que permiten hacerse una idea del proceso. En los applets se puede ver la secuencia animada completa, en la que cada parte se mueve de forma continua mediante la isometría elegida en ese momento para construir la figura ideada por Escher: un hombre, un lagarto, un pájaro o un insecto.

  • Descomposición de la baldosa en otras piezas más pequeñas que generarán el diseño final cuando se unan a otras como ella si seguimos un determinado patrón de construcción.

Esta es una forma de comenzar el estudio de los mosaicos que se coloca en la posición del creador. Todo parte de un polígono que rellena el plano y se deforma de manera controlada para generar una figura que tenga una apariencia de animal (real o figurado). Si se desea ponerse desde la óptica del observador del mosaico de Escher e intentar descubrir la baldosa poligonal que lo generó, se puede visitar la web de Manuel Sada, en ellas toma como punto de partida la baldosa ya generada por Escher, e intenta descubrir paso a paso la forma poligonal que ha servido de base al diseño.

Una vez tenemos la nueva baldosa diseñada, se utilizan las isometrías que han aparecido en el análisis previo para generar nuevas baldosas iguales a ella. A la figura del hombre azul se le imprimen dos rotaciones de 120º (amarillo) y 240º (rojo) para rellenar el plano alrededor del centro de giro. En el paso siguiente utilizamos dos vectores de traslación con direcciones independientes para mostrar que podemos rellenar el plano la figura compuesta por tres hombres. Para acabar sólo tenemos que repetir el proceso de traslación de forma indefinida, y rellenaremos el plano con la figura ideada por M.C. Escher.