3. Dando la vuelta a la tortilla

Investigación: La percepción tridimensional, apartado 3. Rafael Losada Liste


Recordemos la conjetura fallida. El interpoli de un triángulo guarda una razón constante de 1/4 respecto al área original. Lo mismo ocurre, con razón 1/2, en los cuadriláteros. Surge la tentación de generalizar esta constancia pero, al pasar al pentágono u otro polígono de más lados, la razón ya no se mantiene constante.

Podemos aprovechar la precipitada generalización anterior, una vez hemos comprobado que “no marcha”, para plantear el problema al revés. Si elegimos un polígono al azar, parece razonable pensar que la razón de áreas entre su interpoli y el propio polígono no sea la misma para todos los polígonos con el mismo número de lados, a no ser en algunos casos particulares como, de hecho, ya habíamos visto que son los triángulos y los cuadriláteros.

Ahora bien, ¿estos casos particulares obedecen sólo al número de lados o a otra “propiedad” desconocida? ¿Existirán “familias” de polígonos, con más de cuatro lados, que tengan esa misma propiedad y por tanto mantengan todos la misma proporción entre sus áreas y las de sus interpolis respectivos? ¿Son todos los triángulos y cuadriláteros miembros de esas familias? ¿Cuál es, si existe, esa misteriosa “propiedad”?

A lo largo de este artículo mostraremos que esa propiedad existe. Nuestro objetivo será mostrar que, dado un polígono, la propiedad que debe cumplir para mantener su área en razón constante con la de su interpoli se puede definir como:

la posibilidad de unir sus vértices mediante un haz de rectas paralelas
con los de un polígono regular de igual número de lados.


En la siguiente construcción podemos ver un ejemplo. El pentágono rojo de la derecha mantiene siempre la misma razón con su interpoli azul porque sus cinco vértices se desplazan sobre un haz de rectas paralelas que lo conectan con los vértices de un pentágono regular.


Observemos que los polígonos regulares cumplen obviamente esa propiedad, pues basta conectarlos con una traslación cualquiera de sí mismos, y podemos también observar que en su caso, por razones de semejanza, la razón interpoli/polígono no varía. Todos los pentágonos regulares, por ejemplo, mantienen la misma razón con sus interpolis, independientemente de su tamaño.

Igualmente, la condición de que el polígono de la izquierda sea regular es necesaria, como podemos comprobar en la siguiente construcción.


Así que los triángulos y cuadriláteros quizás tengan alguna característica común con los polígonos regulares que los convierta en “especiales”. Si logramos encontrar esa característica tal vez podamos aproximarnos a la propiedad general.

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