Transformaciones de Möbius
Descripción: Muestra cómo distintos tipos de transformaciones planas, conocidas como transformaciones de Möbius, pueden interpretarse como el mismo tipo de movimiento tridimensional. Rafael Losada Liste


Consideremos un damero, es decir, un cuadrado dividido en casillas, como si fuese todo el plano.

  • Un desplazamiento del punto naranja (base de la esfera) provocan una traslación del plano.

  • Un incremento de la altura a la que se encuentra la esfera (deslizador "h") provoca una dilatación (homotecia).

  • Un giro de la esfera alrededor de un eje vertical (deslizador "rota") provoca una rotación.

  • Un giro de la esfera alrededor de un eje horizontal (deslizador "invierte") provoca una inversión.



Esta construcción está inspirada en este video que a su vez tiene su origen en esta página web.



Traducción del texto del video:

Las transformaciones de Möbius se encuentran entre los más fundamentales trazados geométricos, con aplicaciones que van desde el mapa cerebral hasta la teoría de la relatividad.

Una transformación de Möbius opera en plano, asignando a cada punto un nuevo punto.

Hay cuatro tipos básicos: las simples traslaciones, las dilataciones, las rotaciones y las inversiones (que invierten interior y exterior).

Las líneas rectas permanecen rectas o se convierten en circunferencias, y las perpendiculares se mantienen.

En general, una transformación de Möbius es cualquier combinación de estos cuatro movimientos básicos.

La auténtica unidad de las transformaciones de Möbius nos es revelada al subir una dimensión (pasar del plano al espacio).

Recogiendo una idea de Berhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano.

Una luz en la parte superior atraviesa la superficie esférica, iluminando del plano.

Cuando la esfera se mueve, los puntos del plano también lo hacen.

  • Cuando la esfera se traslada, también lo hace el plano.

  • Elevando la esfera obtenemos la dilatación.

  • Gira la esfera como una peonza y el plano rota.

  • La rotación alrededor de un eje horizontal corresponde a la inversión.

Incluso las más complicadas transformaciones de Möbius se revelan con un simple movimiento de la esfera.