Helicoide (transformación)
Descripción: Construye la superficie denominada Helicoide. Rafael Losada Liste

El helicoide se genera por una recta que se mueve apoyándose en una hélice y en el eje del cilindro que la contiene, con el cual forma constantemente un mismo ángulo. La generatriz de un helicoide es una hélice fija. El helicoide es la superficie mínima de esa hélice.

La catenoide se genera por rotación de una catenaria alrededor de un eje. Es una superficie minimal, razón por la que la adopta una película de jabón (sometida a tensión superficial) que conecte dos circunferencias.

 


¿Por qué podemos transformar de forma continua el helicoide en la catenoide? La razón es la misma por la que podemos transformar un plano en un cilindro: el helicoide y la catenoide son dos superficies que tienen la misma geometría local.

Imagina que dibujamos una línea recta (el camino más corto) entre dos puntos A y B de un papel plano. Ahora, curvamos lentamente el papel hasta obtener un cilindro. Observamos que el camino más corto entre A y B sigue siendo la línea que habíamos dibujado. Este hecho nos dice que el cilindro y el plano son la misma superficie respecto a la geometría local, es decir, todas las distancias y ángulos son indistinguibles entre ambas superficies. Una hormiga "bidimensional" que viviera en una de estas dos superficies no podría disntinguir la superficie en que se mueve sólo midiendo disntancias y ángulos. Decimos que ambas superficies son localmente isométricas entre sí. Sólo cuando consideramos las superficies "completas" (viéndolas desde fuera) y su topología (sus propiedades globales) vemos que son superficies diferentes.

La isometría local del cilindro y el plano es un ejemplo sencillo. La isometría local entre el helicoide y la catenoide es un ejemplo menos trivial. Ambas superficies son localmente isométricas, y ambas son superficies minimales.