15. Números trascendentes

Investigación: Los números reales, conclusión. Rafael Losada Liste

 

¿Y qué sucede con los números irracionales que NO son raíces de ningún polinomio de coeficientes enteros, los llamados "trascendentes"?

Aunque son infinitamente más abundantes (en cualquier intervalo real -de medida no nula-, la probabilidad de que un número elegido al azar sea trascendente es 1), son poco conocidos y usados, salvo unas pocas excepciones.

Destacan dos números trascendentes: p y e. Aquí vemos cómo podemos definir p como raíz de una función.

La definición "la menor solución..." se enfrenta con el problema de cómo saber cuál es la menor sin proceder a comparaciones. Para evitar este problema, podemos redefinir p como raíz de una función que sólo tenga una raíz, aislando el intervalo de definición de la función (en el ejemplo, entre 3 y 4).

 

Por último, podemos definir el número e a partir del logaritmo natural, siempre que no definamos éste a partir del número e.

Por ejemplo, podemos definir el logaritmo natural como cierta primitiva de la función f(t) = 1/t.

 

En resumen, todo número real se puede interpretar como el resultado del cálculo de un límite de sucesiones de términos más sencillos. Sin embargo, esto provoca usualmente la confusión entre el proceso de aproximación y el propio resultado del cálculo (es decir, el propio límite).

 

Alternativamente, podemos optar por definir cualquier número real como aquél que posee una propiedad única. La ventaja de interpretarlo así es doble: todos adquieren la misma categoría ontológica (son igual de "exactos") y además permiten su uso simbólico en los programas de ordenadores.